厚壁圆管应力评价

厚壁圆管应力评价内外压作用下应力分布1、轴向应力2、环向应力与径向应力a、平衡方程b、几何方程c、物理方程d、联立求解应力线性化

用于评价承受内外压、弯矩载荷的圆管解构。

内外压作用下应力分布

1、轴向应力

假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：

\sigma_z=\frac{\pi R^2_ip_i-\pi R^2_op_o}{\pi(R^2_o-R^2_i)}=\frac{p_iR^2_i-p_oR^2_o}{R^2_o-R^2_i}=A

2、环向应力与径向应力

取如下微原体进行分析：

a、平衡方程

(\sigma_r+d\sigma_r)(r+dr)d\theta-\sigma_rrd\theta-2\sigma_\theta drsin\frac{\theta}{2}=0\\ =>\quad \sigma_\theta -\sigma_r=r\frac{d\sigma_r}{dr}

b、几何方程

\begin{cases} \varepsilon_r=\frac{(w+dw)-w}{dr}=\frac{dw}{dr}\\ \varepsilon_\theta=\frac{(r+w)d\theta-rd\theta}{rd\theta}=\frac{w}{r} \end{cases}\\ =>\quad \frac{d\varepsilon_\theta}{dr}=\frac{1}{r}(\varepsilon_r-\varepsilon_\theta)

c、物理方程

\begin{cases} \varepsilon_r=\frac{1}{E}[\sigma_r-\mu(\sigma_\theta +\sigma_z)]\\ \varepsilon_\theta=\frac{1}{E}[\sigma_\theta -\mu(\sigma_r+\sigma_z)] \end{cases}\\ =>\quad \varepsilon_r-\varepsilon_\theta=\frac{1+\mu}{E}[\sigma_r-\sigma_\theta]

d、联立求解

\begin{cases} \varepsilon_r-\varepsilon_\theta=\frac{1+\mu}{E}[\sigma_r-\sigma_\theta]\\ \frac{d\varepsilon_\theta}{dr}=\frac{1}{r}(\varepsilon_r-\varepsilon_\theta) \end{cases}=>\frac{d\varepsilon_\theta}{dr}=\frac{1+\mu}{rE}(\sigma_r-\sigma_\theta)

\begin{cases} \frac{d\sigma_\theta}{dr}-\mu\frac{d\sigma_r}{dr}=\frac{1+\mu}{r}(\sigma_r-\sigma_\theta)\\ \sigma_\theta-\sigma_r=r\frac{d\sigma_r}{dr} \end{cases}=>r\frac{d^2\sigma_r}{dr^2}+3\frac{d\sigma_r}{dr}=0

解得：

\sigma_r=A-\frac{B}{r^2};\quad \sigma_\theta=A+\frac{B}{r^2}

边界条件：

$r=R_i$ $\sigma_r=-p_i$ ；

$r=R_o$ $\sigma_r=-p_o$ 。

得到：

A=\frac{p_iR^2_i-poR^2_o}{R^2_o-R^2_i}\\ B=\frac{(p_i-p_o)R^2_iR^2_o}{R^2_o-R^2_i}

最终得到三向应力为：

\sigma_\theta=\frac{p_iR^2_i-p_oR^2_o}{R^2_o-R^2_i}+\frac{(p_i-p_o)R^2_iR_o^2}{R_o^2-R_i^2}\frac{1}{r^2}\\ \sigma_r=\frac{p_iR_i^2-p_oR_o^2}{R_o^2-R_i^2}-\frac{(p_i-p_o)R_i^2R_o^2}{R_o^2-R_i^2}\frac{1}{r^2}\\ \sigma_z=\frac{p_iR_i^2-p_oR_o^2}{R_o^2-R_i^2}

应力线性化

紧考虑内压的情况下，上述应力分量变为：

\sigma_\theta=\frac{p_iR^2_i}{R^2_o-R^2_i}+\frac{p_iR^2_iR_o^2}{R_o^2-R_i^2}\frac{1}{r^2}\\ \sigma_r=\frac{p_iR_i^2}{R_o^2-R_i^2}-\frac{p_iR_i^2R_o^2}{R_o^2-R_i^2}\frac{1}{r^2}\\ \sigma_z=\frac{p_iR_i^2}{R_o^2-R_i^2}

在叠加考虑承受弯矩的情况下线性化过程如下：

Input
外径	$D_o$	$2R_o$
内径	$D_i$	$2R_i$
内压	$p$
弯矩	$M$
属性参数
壁厚	$t$	$R_o-R_i$
比率	$\rho$	$D_o/D_i=R_o/R_i$
Pi	$\pi$	$arccos(-1)$
平均半径	$R_m$	$(R_o+R_i)/2$
面积	$A$	$(D_o^2-D_i^2)\pi/4$
截面模量	$W$	$(D_o^4-D_i^4)\pi/(32D_o)$
壁厚坐标范围	$x$	$-(t/2)\le x\le(t/2)$
薄膜应力		平均应力
切向应力	$\sigma_\theta$	$(1/t)\int {p[1/(\rho^2-1)][R_o^2/(R_m+x)^2+1]}\,dx$
轴向应力	$\sigma_a$	$(1/t)*\int{p[1/(\rho^2-1)]}\,dx$
径向应力	$\sigma_r$	$(1/t)\int{-p[1/(\rho^2-1)][R_o^2/(R_m+x)^2-1]}\,dx$
$Tresca$	$S.I.$	$\sigma_t-\sigma_r$
$v.Mises$	$S_{EQV}$	$[(1/2)*(\sigma_\theta-\sigma_a)^2+(\sigma_a-\sigma_r)^2+(\sigma_r-\sigma_\theta)^2]^{1/2}$
薄膜+弯曲应力
切向应力-内	$\sigma_{\theta,i}$	$(-6/t^2)\int{p[1/(\rho^2-1)][R_a^2/(R_m+x)^2+1]*x}\,dx+\sigma_\theta$
切向应力-外	$\sigma_{\theta,o}$	$(6/t^2)\int{p[1/(\rho^2-1)][R_a^2/(R_m+x)^2+1]*x}\,dx+\sigma_\theta$
轴向应力-内	$\sigma_{a,i}$	$(1/t)\int{p[1/(\rho^2-1)]x}\,dx+\sigma_a+M/W$
轴向应力-外	$\sigma_{a,o}$	$(1/t)\int{p[1/(\rho^2-1)]x}\,dx+\sigma_a-M/W$
径向应力-内	$\sigma_{r,i}$	$(-6/t^2)\int{-p[1/(\rho^2-1)][R_o^2/(R_m+x)^2-1]x}\,dx+\sigma_r$
径向应力-外	$\sigma_{r,o}$	$(6/t^2)\int{-p[1/(\rho^2-1)][R_o^2/(R_m+x)^2-1]x}\,dx+\sigma_r$
$Tresca,inside$	$S.I._i$	$max[abs(\sigma_{t,i}-\sigma_{a,i}),abs(\sigma_{a,i}-\sigma_{r,i}),abs(\sigma_{r,i}-\sigma_{t,i})]$
$Tresca,outside$	$S.I._o$	$max[abs(\sigma_{t,o}-\sigma_{a,o}),abs(\sigma_{a,o}-\sigma_{r,o}),abs(\sigma_{r,o}-\sigma_{t,o})]$
$v.Mises,inside$	$S_{EQV,i}$	$[(1/2)*(\sigma_{t,i}-\sigma_{a,i})^2+(\sigma_{a,i}-\sigma_{r,i})^2+(\sigma_{r,i}-\sigma_{t,i})^2]^{1/2}$
$v.Mises,outside$	$S_{EQV,o}$	$[(1/2)*(\sigma_{t,o}-\sigma_{a,o})^2+(\sigma_{a,o}-\sigma_{r,o})^2+(\sigma_{r,o}-\sigma_{t,o})^2]^{1/2}$